Anneau euclidien - Stathme
Définition
Définition d'un anneau euclidien :
- soit \(\mathcal A\) un anneau commutatif intègre
- il existe \(\mathcal C:\mathcal A\setminus\{0\}\to{\Bbb N}\) tel que :
- \(a|b\implies\mathcal C(a)\leqslant\mathcal C(b)\)
- \(\forall a\in\mathcal A,\forall b\in\mathcal A\setminus\{0\}\), il existe \(q,r\) tels que \(a=bq+r\)
- \(r=0\) ou \(\mathcal C(r)\leqslant\mathcal C(b)\)
$$\Huge\iff$$
- on dit que l'anneau \(\mathcal A\) est euclidien
- on appelle \(\mathcal C\) un stathme
Propriétés
Liens avec le caractère principal
Lien entre anneau euclidien et principal :
- soit \(\mathcal A\) un anneau
- \(\mathcal A\) est euclidien
$$\Huge\iff$$
- \(\mathcal A\) est principal
(
Anneau principal)
